ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Eliminasi Gauss adalah
suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi
baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke
dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai
dari variabel-variabel tersebut.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon
yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya
menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).
Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi
Gauss-Jordan ini dapat Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi,
yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh
nilai dari suatu variable yang bebas.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang
hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris
dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini
juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear
dengan menggunakan matriks.
Metode
ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk
metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks
augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk
mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah
koefisien- koefisien dari sistem persamaan linier..
Sedangkan
langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :
1.Menukar posisi dari 2
baris.
Ai ↔Aj
2.Mengalikan baris
dengan sebuah bilangan skalar positif.
Ai = k*A
3.Menambahkan baris
dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya
Ai = Ai + k * Aj
Algoritma Metode
Eliminasi Gauss adalah:
1.
Masukkan matrik A, dan vektor B beserta
ukurannya n
2.
Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan
A
3.
Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n,
perhatikan apakah nilai ai,i =0 :
Bila ya :
pertukarkan baris ke i
dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak
bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak :
lanjutkan
4.
Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n
Sebuah matriks
sendiri bisa dikatakan sudah memiliki bentuk baris eselon yang tereduksi jika
telah memenuhi
syarat-syarat berikut ini.
1. Jika sebuah
baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada
baris tersebut adalah 1 (leading 1).
2. Jika ada
baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkan
di baris paling bawah dari matriks.
3. Jika ada 2
baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka leading
1 dari baris yang lebih bawah berada di sebelah kanan dari leading 1 yang
berada di baris yang lebih atas.
4. Pada setiap
kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya, maka nilai yang ada di kolom tersebut
kecuali leading 1 adalah nol.
Sebuah
matriks yang hanya memenuhi syarat 1 sampai 3 adalah matriks yang dalam bentuk
baris eselon. Sedangkan jika syarat keempat juga dipenuhi, maka matriks
tersebut dapat dikatakan dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
Berikut beberapa
contoh matriks yang sudah dalam bentuk baris eselon tereduksi.
Berikut contoh
langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
dengan metode
eliminasi Gauss-Jordan.
Diketahui sistem
persamaan linier sebagai berikut.
2x + 4y - 2z = 12
x + 5y + 3z = 8
-3x + y + 3z = -4
1. Ubah sistem
persamaan linier di atas menjadi matriks augmentasi.
2 4 -2 12
1 5 3 8
-3
1 3 -4
2. Kalikan baris
pertama dengan 0.5
1 2 -1 6
1 5 3 8
-3 1 3 -4
3. Tambahkan
baris kedua dengan (-1) kali baris pertama
1 2 -1 6
0 3 4 2
-3
1 3 -4
4. Tambahkan
baris ketiga dengan 3 kali baris pertama
1 2 -1 6
0
3 4 2
0
7 0 14
5. Kalikan baris
kedua dengan 1/3
1
2
-1 6
0
1 0.33 0.67
0
7 0 14
6. Tambahkan
baris pertama dengan (-2) kali baris kedua
1
0
-3.67 4.67
0
1 0.33 0.67
0
7 0
14
7. Tambahkan
baris ketiga dengan (-7) kali baris kedua
1 0 -3.67 4.67
0
1 0.33 0.67
0
0 -9.33
9.33
8. Kalikan baris
ketiga dengan -1/9.33
1
0
-3.67 4.67
0
1 0.33 0.67
0
0 1 -1
9. Menambahkan
baris pertama dengan 3.67 kali baris ketiga
1 0 0 1
0
1
0.33 0.67
0 0 1 -1
10. Menambahkan
baris kedua dengan (-0.33) kali baris ketiga
1
0 0 1
0
1 0 2
0
0 1 -1
Setelah langkah
ke-10, maka matriks ini telah dalam bentuk baris eselon tereduksi. Dari matriks
terakhir ini
dapat disimpulkan bahwa nilai x = 1, y = 2, dan z = -1.
Contoh di atas
diterapkan pada sistem persamaan linier dengan n variabel dan n persamaan.
Contoh berikut
adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel dan m
persamaan.
Diketahui sistem
persamaan linier sebagai berikut.
2x + 3y - 5z = 7
x + 4y + 8z = 3
1. Ubah menjadi
matriks teraugmentasi
2 3 -5 7
1 4 8 3
2. Kalikan baris
pertama dengan ½
1 1.5 -2.5 3.5
1 4 8 3
3. Tambahkan
baris kedua dengan (-1) kali baris pertama
1 1.5 -2.5 3.5
0 2.5 10.5 -0.5
8
4. Kalikan baris
kedua dengan 1/2.5
1 1.5 -2.5 3.5
0 1 4.2 -0.2
5. Tambahkan
baris pertama dengan (-1.5) kali baris kedua
1 0 -8.8 3.8
0 1 4.2 -0.2
Penyelesaian
untuk persamaan di atas akan menjadi :
x – 8.8z = 3.8
y + 4.2z = -0.2
Ada 3 macam
kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linier, yaitu :
1. Solusi yang unik. Hanya ada satu himpunan nilai (s1,
s2, ..., sn) yang memenuhi sistem
persamaan linier
tersebut.
2. Tidak ada solusi. Tidak ada himpunan nilai (s1, s2,
..., sn) yang memenuhi sistem
persamaan linier
tersebut.
3. Solusi yang ada tidak berhingga. Ada lebih dari
satu (tak berhingga) himpunan nilai
(s1, s2, ..., sn)
yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
selengkapnya dapat dilihat di www.iaincirebon.ac.id/tmtk
Tidak ada komentar:
Posting Komentar